શું $f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{જો } x \le 1 \\ x - 5, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત વિધેય છે?
(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{જો } x \le 1 \\ x - 5, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ છે.
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 1$ હોય,તો $f(c) = c + 5$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 5) = c + 5$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x < 1$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 1$ હોય,તો $f(1) = 1 + 5 = 6$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 5) = 6$ છે. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 5) = -4$ છે. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુનું લક્ષ હોવાથી,$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત નથી.
કિસ્સો $III$: જો $c > 1$ હોય,તો $f(c) = c - 5$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x > 1$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત નથી.
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 1$ હોય,તો $f(c) = c + 5$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 5) = c + 5$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x < 1$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 1$ હોય,તો $f(1) = 1 + 5 = 6$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 5) = 6$ છે. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 5) = -4$ છે. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુનું લક્ષ હોવાથી,$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત નથી.
કિસ્સો $III$: જો $c > 1$ હોય,તો $f(c) = c - 5$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x > 1$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત નથી.
Explore More
Similar Questions
જો $f(x)$ તેના પ્રદેશ $[-2,2]$ પર સતત હોય,જ્યાં $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin ax}{x} + 3, & -2 \leq x < 0 \\ 2x + 7, & 0 \leq x \leq 1 \\ \sqrt{x^2+8} - b, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$ હોય,તો $2a + 3b$ ની કિંમત શોધો.
જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x - \sin \frac{x}{2}}{x}, & x < 0 \\ \frac{\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x}}{x^{3/2}}, & x > 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને તે $R$ પર સતત હોય,તો $f(0) = $
વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{જો } x < 0 \\ x + 1, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$ માટે અસતત બિંદુઓ શોધો.
Easy
View Solutionનીચેનામાંથી કયું વિધેય $(0, \pi )$ પર સતત નથી?
ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $\alpha \in R$ ધન છે. વિધેય $f: R \rightarrow R$ ને $f(0)=0$ અને $x \neq 0$ માટે $f(x)=|x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(1+x^2\right)^{-n}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ નો ગણ જેના માટે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેમાં
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo